Распределение пуассона с параметром лямбда

Закон распределения Пуассона

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.

Краткая теория

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda.$$

Примеры решенных задач

Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 8. В тексте учебника по психологии содержатся опечатки: в среднем, одна на десять страниц. Пусть Х – число опечаток на одной странице. Определить закон распределения для Х. Найти вероятность, что на странице есть хотя бы одна опечатка.

Решебник по терверу

Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей:

Источник

Что такое распределение Пуассона?

Sep 1, 2019 · 6 min read

Прежде чем вводить параметр λ и подставлять его в формулу, давайте задумаемся: почему Пуассону вообще пришлось изобретать такое распределение?

1. Почему Пуассон изобрел свое распределение?

Чтобы предсказывать количество будущих событий!

Или более формально: чтобы предсказывать вероятность данного числа событий, происходящих в определенный интервал времени.

В продажах, например, “ событие” это покупка (сам момент покупки, не просто выбор). Событием может быть количество посетителей в день на веб-сайте, кликов на рекламном объявлении в следующем месяце, число звонков в рабочее время или число людей, которые умрут от смертельных заболеваний в следующем году, и так далее.

Вот пример, как я использую распределение Пуассона в реальной жизни.

2. Как решить эту задачу?

Давай т е на время сделаем вид, что мы ничего не знаем о распределении Пуассона. Как тогда решить задачу?

Первый путь: начать с количества прочтений. Для каждого читателя блога есть вероятность, что статья ему действительно понравится и он поставит лайк.

Это классическая работа для биномиального распределения, так как мы рассчитываем количество успешных событий (лайков).

Биномиальная случайная величина — это количество успешных x в n повторяющихся попыток. Предполагается, что вероятность успеха p является постоянной в каждой попытке.

Итак, у нас есть только один параметр — 17 человек в неделю, что является “ средним значением” (средним значением успешных событий в неделею, или математическим ожиданием x). Нам ничего не известно ни о вероятности получения лайков p, ни о количестве посетителей блога n.

Значит, нам нужно больше информации для решения задачи. Что конкретно нужно, чтобы оформить эту вероятность как биномиальную проблему? Две вещи: вероятность успеха (лайков) p и количество попыток (посетителей) n.

Получим их из прошлых данных.

Это статистика за 1 год. Общее количество читателей блога — 59 тысяч, 888 из них поставили лайк.

Следовательно, количество читателей в неделю ( n): 59 000/52 = 1134. Количество поставивших лайк в неделю ( x): 888/52 =17.

Используя биномиальную функцию вероятности, посчитаем вероятность того, что я получу точно 20 успешных событий (20 лайков) на следующей неделе.

Только что мы решили задачу с помощью биномиального распределения.

Тогда зачем нам распределение Пуассона? Что оно может делать такого, что не может биномиальное распределение?

3. Недостатки биномиального распределения

a) Биномиальная случайная величина бинарна — 0 или 1.

В примере выше у нас было 17 лайков в неделю. Это 17/7 = 2.4 человека в день и 17/(7*24) = 0.1 в час.

Если моделировать вероятность успеха в часах (0.1 человек в час), используя биномиальную случайную величину, получим, что в большем количестве часов лайков будет 0, а в некоторые часы ровно 1 лайк. Также возможно, что в час будет больше 1 лайка (2, 3, 5 и т.д.).

Проблема с биномиальным распределением в том, что оно не может содержать более одного события в единицу времени (1 час в примере).

Так может разделить 1 час на 60 минут и принять за единицу времени минуту? Тогда в 1 час поместится несколько событий. (Помним, что 1 минута содержит только ноль или одно событие).

Теперь проблема решена?

Вроде бы. Но что если в течение одной минуты мы получим несколько лайков? (например, кто-то поделился постом в Твиттере, и трафик вырос в эту минуту). Что тогда? Можно разделить минуту на секунды. Тогда единицей времени становится секунда, и в минуту помещается несколько событий. Но проблема бинарного контейнера будет существовать для все меньших единиц времени.

Дело в том, что биномиальная случайная величина может содержать несколько событий, если делить единицу времени на все меньшие единицы. В результате изначальная единица времени будет содержать более одного события.

Математически это означает n → ∞. Если предположим, что среднее значение фиксировано, тогда p → 0. В противном случае n*p — количество событий — чрезмерно возрастет.

Единица времени с использованием этого лимита может быть бесконечно мала. Больше не нужно беспокоиться о более чем одном событии в единицу времени. Так получается распределение Пуассона.

b) В биномиальном распределении количество попыток (n) должно быть известно заранее.

Нельзя посчитать вероятность успеха при помощи биномиального распределения, зная только среднее значение (17 человек в неделю). Нужно больше информации ( n и p), чтобы использовать формулу.

Распределение Пуассона же не обязывает вас знать ни n ни p. Предположим, что n бесконечно велико, а p бесконечно мала. Единственный параметр распределения — значение λ (ожидаемое значение x). В реальной жизни чаще известно только значение (например, с 2 до 4 часов дня я принял 3 телефонных звонка), а не значения n и p.

4. Формула Пуассона

Давайте получим формулу Пуассона математически из формулы функции биномиального распределения.

Теперь нужно только показать, что умножение первых двух множителей n!/((n-k)!*n^k) дает 1, когда n стремится к бесконечности.

Источник

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Распределение Пуассона: формула вероятности редких событий

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

,

где m число наступления события A;

— среднее значение распределения Пуассона;

Условия возникновения распределения Пуассона

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

.

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

Решение примеров с распределением Пуассона

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

а) (так как 0! = 1 ).

б) .

в) .

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

а) .

б) .

в) .

Источник

Распределение Пуассона

Ранее мы рассмотрели два типа дискретных числовых распределений: биномиальное и гипергеометрическое. Во многих практически важных приложениях большую роль играет распределение Пуассона. Многие из числовых дискретных величин являются реализациями пуассоновского процесса, обладающего следующими свойствами:[1]

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

Чтобы глубже понять смысл пуассоновского процесса, предположим, что мы исследуем количество клиентов, посещающих отделение банка, расположенное в центральном деловом районе, во время ланча, т.е. с 12 до 13 часов. Предположим, требуется определить количество клиентов, приходящих за одну минуту. Обладает ли эта ситуация особенностями, перечисленными выше? Во-первых, событие, которое нас интересует, представляет собой приход клиента, а область возможных исходов — одноминутный интервал. Сколько клиентов придет в банк за минуту — ни одного, один, два или больше? Во-вторых, разумно предположить, что вероятность прихода клиента на протяжении минуты одинакова для всех одноминутных интервалов. В-третьих, приход одного клиента в течение любого одноминутного интервала не зависит от прихода любого другого клиента в течение любого другого одноминутного интервала. И, наконец, вероятность того, что в банк придет больше одного клиента стремится к нулю, если временной интервал стремится к нулю, например, становится меньше 0,1 с. Итак, количество клиентов, приходящих в банк во время ланча в течение одной минуты, описывается распределением Пуассона.

Распределение Пуассона имеет один параметр, обозначаемый символом λ (греческая буква «лямбда») – среднее количество успешных испытаний в заданной области возможных исходов. Дисперсия распределения Пуассона также равна λ, а его стандартное отклонение равно . Количество успешных испытаний Х пуассоновской случайной величины изменяется от 0 до бесконечности. Распределение Пуассона описывается формулой:

где Р(Х) — вероятность X успешных испытаний, λ — ожидаемое количество успехов, е— основание натурального логарифма, равное 2,71828, X— количество успехов в единицу времени.

Вернемся к нашему примеру. Допустим, что в течение обеденного перерыва в среднем в банк приходят три клиента в минуту. Какова вероятность того, что в данную минуту в банк придут два клиента? А чему равна вероятность того, что в банк придут более двух клиентов?

Применим формулу (1) с параметром λ = 3. Тогда вероятность того, что в течение данной минуты в банк придут два клиента, равна

Таким образом, вероятность того, что в банк в течение минуты придут не больше двух клиентов, равна 0,423 (или 42,3%), а вероятность того, что в банк в течение минуты придут больше двух клиентов, равна 0,577 (или 57,7%).

Такие вычисления могут показаться утомительными, особенно если параметр λ достаточно велик. Чтобы избежать сложных вычислений, многие пуассоновские вероятности можно найти в специальных таблицах (рис. 1). Например, вероятность того, что в заданную минуту в банк придут два клиента, если в среднем в банк приходят три клиента в минуту, находится на пересечении строки X = 2 и столбца λ = 3. Таким образом, она равна 0,2240 или 22,4%.

Рис. 1. Пуассоновская вероятность при λ = 3

Сейчас вряд ли кто-то будет пользоваться таблицами, если под рукой есть Excel с его функцией =ПУАССОН.РАСП() (рис. 2). Эта функция имеет три параметра: число успешных испытаний Х, среднее ожидаемое количество успешных испытаний λ, параметр Интегральная, принимающий два значения: ЛОЖЬ – в этом случае вычисляется вероятность числа успешных испытаний Х (только Х), ИСТИНА – в этом случае вычисляется вероятность числа успешных испытаний от 0 до Х.

Рис. 2. Расчет в Excel вероятностей распределения Пуассона при λ = 3

Аппроксимация биноминального распределения с помощью распределения Пуассона

Если число n велико, а число р — мало, биномиальное распределение можно аппроксимировать с помощью распределения Пуассона. Чем больше число n и меньше число р, тем выше точность аппроксимации. Для аппроксимации биномиального распределения используется следующая модель Пуассона.

где Р(Х) — вероятность X успехов при заданных параметрах n и р, n — объем выборки, р— истинная вероятность успеха, е— основание натурального логарифма, X — количество успехов в выборке (X = 0, 1, 2, …, n).

Теоретически случайная величина, имеющая распределение Пуассона, принимает значения от 0 до ∞. Однако в тех ситуациях, когда распределение Пуассона применяется для приближения биномиального распределения, пуассоновская случайная величина — количество успехов среди n наблюдений — не может превышать число n. Из формулы (2) следует, что с увеличением числа n и уменьшением числа р вероятность обнаружить большое количество успехов уменьшается и стремится к нулю.

Как говорилось выше, математическое ожидание µ и дисперсия σ 2 распределения Пуассона равны λ. Следовательно, при аппроксимации биномиального распределения с помощью распределения Пуассона для приближения математического ожидания следует применять формулу (3).

Для аппроксимации стандартного отклонения используется формула (4).

Предположим, что 8% шин, произведенных на некотором заводе, являются бракованными. Чтобы проиллюстрировать применение распределения Пуассона для аппроксимации биномиального распределения, вычислим вероятность обнаружить одну дефектную шину в выборке, состоящей из 20 шин. Применим формулу (2), получим

Если бы мы вычислили истинное биномиальное распределение, а не его приближение, то получили бы следующий результат:

Однако эти вычисления довольно утомительны. В то же время, если вы используете Excel для вычисления вероятностей, то применение аппроксимации в виде распределения Пуассона становится излишним. На рис. 3 показано, что трудоемкость вычислений в Excel одинакова. Тем не менее, этот раздел, на мой взгляд, полезен понимаем того, что при некоторых условиях биноминальное распределение и распределение Пуассона дают близкие результаты.

Рис. 3. Сравнение трудоемкости расчетов в Excel: (а) распределение Пуассона; (б) биноминальное распределение

Итак, в настоящей и двух предыдущих заметках были рассмотрены три дискретных числовых распределения: биномиальное, гипергеометрическое и Пуассона. Чтобы лучше представлять, как эти распределения соотносятся друг с другом приведем небольшое дерево вопросов (рис. 4).

Рис. 4. Классификация дискретных распределений вероятностей

[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 320–328

Источник

Распределение и формула Пуассона

В данной статье мы рассмотрим ещё одно дискретное распределение, которое получило широкое распространение на практике. Не успел я открыть курс по теории вероятностей, как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п. И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

– проводится независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие может появиться с вероятностью. Требуется найти вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз.

Наверное, вам уже снится формула Бернулли🙂

тем более, на уроке о биномиальном распределении вероятностей мы разобрали ситуацию по косточкам.

В том случае, если количество испытаний велико (сотни и тысячи), эту вероятность обычно рассчитывают приближённо – с помощью локальной теоремы Лапласа: , где .

Однако и тут есть «слабое звено» – теорема Лапласа начинает серьёзно барахлить (давать большую погрешность), если вероятность меньше, чем 0,1 (и чем меньше, тем всё хуже). Поэтому здесь используют другой метод, и именно распределение Пуассона.

Итак, если количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в отдельно взятом испытании весьма мала (0,05-0,1 и меньше), то вероятность того, что в данной серии испытаний событие появится ровно раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:
, где

Напоминаю, что ноль факториал , а значит, формула имеет смысл и для .

Вместо «лямбды» также используют букву «а».

В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажет ровно 1 замок.

Утопичная, конечно, задача, но что делать – решаем🙂

В данном случае количество «испытаний» велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала: , поэтому используем формулу Пуассона:

Вычислим:
– по существу, это среднеожидаемое количество вышедших из строя замков.

Таким образом:
– вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно один замок (из 10 тысяч).

Ответ:

С технической точки зрения этот результат можно получить несколькими способами, расскажу о них в историческом ракурсе:

1) С помощью специальной таблицы, которая до сих пор встречается во многих книгах по терверу. В данную таблицу сведены различные значения и соответствующие им вероятности. Табулирование обусловлено тем, что в своё время не существовало бытовых калькуляторов, на которых можно было бы подсчитать значения экспоненциальной функции. Отсюда, кстати, идёт традиция округлять вычисления до 4 знаков после запятой – как в стандартной таблице.

2) С помощью прямого вычисления на микрокалькуляторе (прогресс!).

3) С помощью стандартной экселевской функции:
=ПУАССОН(m; лямбда; 0)
в данной задаче вбиваем в любую ячейку Экселя =ПУАССОН(1; 2; 0) и жмём Enter.

Следует отметить, что развитие вычислительной техники фактически отправило в историю методы Лапласа, да и рассматриваемый метод тоже – по той причине, что ответ легко вычислить более точно по формуле Бернулли:

Здесь я использовал функцию БИНОМРАСП, о которой неоднократно упоминал ранее.

Но формула Пуассона, тем не менее, даёт очень крутое приближение:
– с погрешностью только на 9 знаке после запятой!

Впрочем, это всё лирика, решать-то всё равно нужно по формуле Пуассона:

Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) ни одного изделия, б) ровно три изделия, в) более трех изделий.

Решение: используем формулу Пуассона:

В данном случае:
– среднеожидаемое количество повреждённых изделий

а)
– вероятность того, что все изделия дойдут в целости и сохранности. Ничего не украдут, одним словом 🙂

б)
– вероятность того, что в пути будут повреждены ровно 3 изделия из 500.

в)
А тут всё немножко хитрее. Сначала найдём – вероятность того, что в пути повредятся не более трёх изделий. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Само собой, ручками это считать надоест, и поэтому я добавил в свой расчётный макет автоматическое построение распределения Пуассона (см. Пункт 7) – пользуйтесь на здоровье.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что при доставке будет повреждено более 3 изделий.

Ответ: а) , б) , в)

Вероятность изготовления бракованных деталей при их массовом производ­стве равна . Определить вероятность того, что в партии из 800 деталей будет: а) ровно 2 бракованные, б) не более двух.

Решение и ответ в конце урока.

Встречаются и другие формулировки условия. Так, в предложенной задаче может идти речь о том, что производственный брак составляет 0,1% или «в среднем 1 деталь на каждую тысячу». Бывает и дано готовое значение «лямбда», например: «В стандартной партии из 800 деталей брак в среднем составляет 0,8 деталей. Найти вероятность того, что в очередной партии…».

В этой связи ни в коем случае не отключаем голову – даже в таких простых примерах!

А теперь о самом распределении Пуассона. Случайная величина , распределённая по этому закону, принимает бесконечное и счётное количество значений , вероятности появления которых определяются формулой:

Или, если расписать подробно:

Вспоминая разложение экспоненты в ряд, легко убедиться, что:

В теории установлено, что математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно и дисперсия – тому же самому значению: .

Обратите внимание, что во всех вышеприведённых заданиях мы лишь ПОЛЬЗОВАЛИСЬ распределением Пуассона для приближенного расчёта вероятностей, в то время как ТОЧНЫЕ значения следовало находить по формуле Бернулли, т.е., там имело место биномиальное распределение.

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение: случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах:

вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ:

Аналогичная задача на понимание:

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце урока.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим, если он удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последствий и ординарности. Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в дверь?» – нет уж, увольте, рубить удобнее по порядку.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в некоторую единицу времени (минуту, час, день или в любую другую). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени, в систему поступит ровно заявок, равна:

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение: используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

По формуле Пуассона:
– вероятность того, что в течение 5 минут не будет ни одного звонка.

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что в течение 5 минут будет хотя бы один вызов.

Ответ: а) , б)

Заметьте, что, несмотря на конечное количество возможных звонков (а оно в принципе конечно), здесь имеет место именно распределение Пуассона, а не какое-то другое.

Для самостоятельного решения:

Среднее число автомобилей, проходящих таможенный досмотр в течение часа, равно 3. Найти вероятность того, что: а) за 2 часа пройдут досмотр от 7 до 10 автомобилей; б) за полчаса успеет пройти досмотр только 1 автомобиль.

Решение и ответ в конце урока.

Наверное, многие знают, что теория массового обслуживания – это обширный и очень интересный раздел прикладной математики, и сейчас мы познакомились с простейшей его задачей.

Дополнительные примеры на распределение и формулу Пуассона можно найти в тематической pdf-книге, и я предлагаю вам ознакомиться с ещё одной популярной вещью – Гипергеометрическим распределением вероятностей.

Приятного и полезного чтения!

Пример 3. Решение: используем формулу Пуассона:
, в данном случае:

а) – вероятность того, что в данной партии окажется ровно 2 бракованные детали.
б) По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что в данной партии окажется не более 2 бракованных изделий.

Ответ: а) , б)

Пример 5. Решение: случайная величина принимает значения с вероятностями . По условию, .
Найдём вероятность того, что случайная величина примет нулевое значение:

По теореме сложения вероятностей противоположных событий:
– вероятность того, что случайная величина примет положительное значение

Ответ:

Пример 7. Решение: предполагая поток простым, используем формулу Пуассона:

а) Вычислим – среднее количество автомобилей, проходящих таможенный досмотр, в течение 2 часов.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что за 2 часа досмотр пройдут от 7 до 10 автомобилей

б) Вычислим – среднее количество автомобилей, проходящих досмотр, за 1/2 часа.
По формуле Пуассона:
– вероятность того, что за полчаса таможенный досмотр пройдёт только один автомобиль.

Ответ: а) , б)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник