Объясните что называется координатным лучом
Шкалы. Координатный луч
Содержание
Для измерения длины отрезка используется линейка. Измерение возможно за счет того, что на линейку нанесена шкала — это штрихи через одинаковые промежутки.
На школьный линейках, как правило, расстояние между штрихами равно 1 мм, оно называется делением.
Дополнительно на линейках обозначены и сантиметровые интервалы — под удлиненными штрихами стоят цифры. Один сантиметровый отрезок содержит в себе 10 делений по 1 мм.
Шкалу также можно увидеть в термометре. Там одно деление соответствует одному градусу, цифрами обозначены величины, равные 10, 20, 30 градусам и т.д.
Еще шкала бывает на весах. Обычно одно деление весов равно 100 гр. Цифрами обозначены величины в 1, 2, 3 кг и т. д.
Но если нужно взвешивать большие предметы, то применяются весы, деление шкалы в которых больше чем 100 гр. В этом случае используются такие единицы измерения массы, как тонна и центнер.
1 тонна обозначается как 1 т, 1 т = 1000 кг.
1 центнер обозначается как 1 ц, 1 ц = 100 кг.
Шкала также есть на таком приборе, как динамометр
Координатный луч
В математике шкалу можно встретить на координатном луче. Разберем подробнее, что это за луч и как его построить.
Начертим луч ОХ, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1
Точка О является его началом. Она соответствует числу 0. От точки О вправо отложим отрезок, равный 1 см, а полученную точку обозначим Е (рисунок 2).
Рисунок 2
Точка Е будет соответствовать числу 1. Отрезок ОЕ называется единичным.
Таким образом, луч ОХ стал координатным лучом, где О — это начало координат, а ОЕ — единичный отрезок. (Единичный отрезок в нашем примере равен 1 см, но он может быть любой длины, именно это длина будет приниматься на координатном луче за единицу измерения.)
Числа, соответствующие точкам на координатном луче, называются координатами этих точек. Говорят так: точка О имеет координату 0, точка Е имеет координату 1. Записывается это следующим образом: О(0), Е(1).
Рисунок 3
Отметим на координатной луче точки А(2), В(3), С(4) — рисунок 3. Так мы получили на координатном луче шкалу, которую можно продолжать бесконечно.
Шкалы, координаты
Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.
Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.
Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).
Рисунок 1. Измерительная линейка.
Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.
Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).
Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.
Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.
Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.
Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.
Рисунок 2 Цена деления шкалы
Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?
Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:
Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки
Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.
Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.
Рис. 3. Луч с началом в точке O
Рис. 4. Луч с равными отрезками
Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).
Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.
Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами
Покажу еще раз на примере точки S :
так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),
подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:
Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.
Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.
Рис. 6. Координатный луч
Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.
Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.
Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.
Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.
Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.
Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка
Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).
Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.
Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.
Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.
Рис. 8. Координаты точек
Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).
В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.
Рис. 9. Большие числа на координатном луче.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.2 / 5. Количество оценок: 9
Мерзляк 5 класс — § 5. Шкала. Координатный луч
Вопросы к параграфу
1. Приведите примеры приборов, имеющих шкалы — часы, термометр, линейка, весы, амперметр (прибор для измерения силы тока), тонометр (прибор для измерения артериального давления), спидометр (прибор для измерения скорости движения автомобиля), тахометр (прибор для измерения оборотов двигателя в автомобиле).
2. Объясните, что называют координатным лучом — координатный луч — это бесконечная шкала с точкой начала отсчёта, стрелкой обозначающей направление движения по лучу и обозначенными на луче единичными отрезками.
3. В каком случае говорят, что число 7 является координатой точки А? Число 7 является координатой точки А, если на координатном луче точка А изображает число 7.
4. Как записывают, что число 7 является координатой точки А? А (7)
Решаем устно
1. Выполните сложение:
1) 18 +14 = 32
2) 180 + 140 = 320
3) 180 + 14 = 194
4) 18 + 140 = 158
2. Чему равна сумма наибольшего трёхзначного и наименьшего четырёхзначного чисел?
3. В пять одинаковых пакетов разложили поровну 10 кг конфет. Сколько необходимо таких пакетов, чтобы разложить 30 кг конфет?
5 • (30 : 10) = 5 • 3 = 15 (пакетов).
4. Чему равна длина ломаной, которая состоит из шести равных звеньев длиной 7 см каждое?
7 • 6 = 42 (см) — длина ломаной.
5. Какие три цифры надо зачеркнуть в записи числа 8 724 516, чтобы число, записанное оставшимися цифрами в той же последовательности, было:
1) наибольшим из возможных;
8 7 24 5 1 6 = 8 756
2) наименьшим из возможных?
8 7 24 51 6 = 2 451
Упражнения
112. Запишите показания термометров, изображённых на рисунке 54.
а) 10°С
б) 25°С
в) 18°С
г) 21°С
113. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 54, в, если его столбик:
1) опустится на шесть делений
2) поднимется на четыре деления
114. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 54, г, если его столбик:
1) поднимется на три деления
2) опустится на пять делений
115. Найдите координаты точек А, В, С, D, Е на рисунке 55.
Обозначим на координатной шкале недостающие цифры.
A (1), B (3), C (7), D (8), E (10)
116. Найдите координаты точек P, K, S, T, F на рисунке 56.
Обозначим на координатной шкале недостающие цифры.
P (2), K (3), S (6), T (7), F (11)
117. Отметьте на координатном луче точки, соответствующие числам 1, 3, 5, если единичный отрезок равен 1 см.
Начертите ещё два координатных луча и отметьте на них эти же числа, выбрав за длину единичного отрезка:
1) 2 см
2) 5 мм
118. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, изображающие числа: 2, 3, 4, 8, 9.
A (2), B (3), C (3), D (8), E (9)
119. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, изображающие числа: 5, 6, 7, 10.
120. Запишите все натуральные числа, расположенные на координатном луче:
1) левее числа 12;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
2) левее числа 18, но правее числа 8.
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
121. Начертите координатный луч и отметьте на нём все натуральные числа, которые больше 3 и меньше 7.
122. Начертите координатный луч и отметьте на нём все натуральные числа, которые больше 5 и меньше 10.
123. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче между числами:
124. Запишите натуральные числа, расположенные на координатном луче между числами:
125. Начертите отрезок длиной 8 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 16. Разделите отрезок на четыре равные части. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15.
126. Начертите отрезок длиной 9 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 18. Разделите отрезок на шесть равных частей. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 4, 7, 8, 10, 11, 16, 17.
127. Найдите координаты точек А, В, С, D, Е, F на рисунке 57.
На рисунке 57 единичный отрезок равен 10. Значит координаты точек будут следующие:
A (10), C (50), B (90), F (125), D (150), E (190)
128. Найдите координаты точек M, N, P, T, K, S на рисунке 58.
На рисунке 58 единичный отрезок равен 10. Значит координаты точек будут следующие:
M (10), N (80), P (70), T (130), K (180), S (155)
129. Перенесите в тетрадь рисунок 59. Отметьте на координатном луче точки В (12), С (2), D (8).
130. Перенесите в тетрадь рисунок 60. Отметьте на координатном луче точки Е (27), F(6), К (15), Р(21).
131. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, удалённую от точки В (5) на:
Ответ: 1) D (11); 2) A (2) и C (8).
132. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, удалённую от точки А (7) на:
133. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которую указывает стрелка (рис. 61)?
а) 46 + 9 = 55
б) 293 — 25 = 268
134. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которой начинается стрелка (рис. 62)? 
а) 82 — 8 = 74
б) 408 + 16 = 426
135. Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево — на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки О (0) попасть:
1) в точку А (7);
Ответ: да сможет, если сделает два прыжка вправо и один прыжок влево.
2) в точку В (8)?
5 + 5 + 5 + 5 — 3 — 3 — 3 — 3 = 50 — 12 = 8
Ответ: да сможет, если сделает четыре прыжка вправо и четыре прыжка влево.
Упражнения для повторения
136. Выполните действия:
137. Высота Исаакиевского собора (г. Санкт-Петербург) равна 102 м, что на 21 м больше высоты колокольни Ивана Великого на территории Московского Кремля. Высота колокольни Ивана Великого на 24 м меньше высоты храма Христа Спасителя в Москве. Какова высота храма Христа Спасителя?
1) 102 — 21 = 81 (м) — высота колокольни Ивана Великого на территории Московского Кремля.
2) 81 + 24 = 105 (м) — высота храма Христа Спасителя в Москве.
138. Из двух городов, расстояние между которыми равно 1 008 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля и встретились через 8 ч после начала движения. Скорость одного автомобиля 70 км/ч. Найдите скорость другого автомобиля.
1) 70 • 8 = 560 (км) — проехал за 8 часов 1 автомобиль.
2) 1008 — 560 = 448 (км) — проехал за 8 часов 2 автомобиль.
3) 448 : 8 = 56 (км/ч) скорость второго автомобиля.
139. Из двух городов отправились одновременно навстречу друг другу два поезда со скоростями 48 км/ч и 54 км/ч. Найдите расстояние между городами, если поезда встретились через 4 ч после начала движения.
1) 48 • 4 = 192 (км) — проехал за 4 часа первый поезд.
2) 54 • 4 = 216 (км) проехал за 4 часа второй поезд.
3) 192 + 216 = 408 (км) — расстояние между городами.
140. Стоимость 7 кг яблок такая же, как 4 кг груш. Сколько килограммов груш можно купить на ту же сумму, что и 42 кг яблок?
1) 42 : 7 = 6 (раз) — больше яблок купили во вторую покупку, чем в первую.
2) 4 • 6 = 24 (кг) — груш купили во вторую покупку.
Ответ: На ту же сумму можно купить 24 кг груш.
Комментарий: В первую покупку купили 7 кг яблок, а во вторую — 42 кг. Мы знаем, что число 42 в 6 раз больше, чем число 7. То есть во вторую покупку купили в 6 раз больше яблок и, соответственно, потратили в 6 раз больше денег.
Так как стоимость покупки яблок и груш была одинаковая, это значит, что и на груши потратили в 6 раз больше денег, чем на покупку 4 кг в первый раз. То есть во второй раз купили 4 • 6 = 24 (кг) груш.
Задача от мудрой совы
141. Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Может ли на всех кустах вместе расти 225 ягод?
ЧЁТНОЕ ЧИСЛО + НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО = НЕЧЁТНОЕ ЧИСЛО (ягод) — в каждой паре кустов малины.
8 : 2 = 4 (пары) кустов.
НЕЧЁТНОЕ • 4 = ЧЁТНОЕ ЧИСЛО (ягод) — на всех 8 кустах.
ВОПРОСЫ
1. Приведите примеры приборов, имеющих шкалы.
Примеры приборов:
1) ученическая линейка со шкалой деления 1 мм.
2) Циферблат часов со шкалой деления 1 мин.
3) Спидометр автомобиля со шкалой деления 2км/ч.
4) Термометр со шкалой деления 1°С.
2. Объясните, что называют координатным лучом.
3. В каком случае говорят, что число 7 является координатой точки А?
Если на координатном луче точка А изображает число 7, говорят, что число 7 является координатой точки А.
4. Как записывают, что число 7 является координатой точки А.
Если число 7 является координатой точки А, то записывается это так: А(7).
РЕШАЕМ УСТНО
1. Выполните сложение:
2. Чему равна сумма наибольшего трехзначного и наименьшего четырехзначного чисел?
3. В пять одинаковых пакетов разложили поровну 10 кг конфет. Сколько необходимо таких пакетов, чтобы разложить 30 кг конфет?
4. Чему равна длина ломаной, которая состоит из шести равных звеньев длиной 7 см каждое?
7*6 = 42(см)
Ответ: длина ломаной равна 42 см.
5. Какие три цифры надо зачеркнуть в записи числа 8 724 516, чтобы число записанное оставшимися цифрами в той же последовательности, было: 1) наибольшим из возможных; 2) наименьшим из возможных?
УПРАЖНЕНИЯ
112. Запишите показания термометров, изображенных на рисунке 54.
113. Какую температуру будет показывать термометр, изображенный на рисунке 54, в, если его столбик: 1) опустится на шесть делений; 2) поднимется на четыре деления?
114. Какую температуру будет показывать термометр, изображенный на рисунке 54, г, если его столбик: 1) поднимется на три деления; 2) опустится на пять делений?
115. Найдите координаты точек А, В, С, D, Е на рисунке 55.
116. Найдите координаты точек Р, К, S, Т, F на рисунке 56.
117. Отметьте на координатном луче точки, соответствующие числам 1, 3, 5, если единичный отрезок равен 1 см. Начертите еще два координатных луча и отметьте на них эти же числа, выбрав за длину единичного отрезка: 1) 2 см; 2) 5 мм.
118. Начертите координатный луч и отметьте на нем точки, изображающие числа: 2, 3, 4, 8, 9.
119. Начертите координатный луч и отметьте на нем точки, изображающие числа: 4, 5, 7, 10.
120. Запишите все натуральные числа, расположенные на координатном луче: 1) левее числа 12; 2) левее числа 18, но правее числа 8.
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2) 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
121. Начертите координатный луч и отметьте на нем все натуральные числа, которые больше 3 и меньше 7.
122. Начертите координатный луч и отметьте на нем все натуральные числа, которые больше 5 и меньше 10.
123. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче между числами:
1) семь чисел;
2) четыре числа;
3) одно число;
4) таких чисел нет.
124. Запишите натуральные числа, расположенные на координатном луче между числами:
125. Начертите отрезок длиной 8 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим 16. Разделите отрезок на четыре равные части. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15.
126. Начертите отрезок длиной 9 см. Над одним концом отрезка напишите 0, а над другим 18. Разделите отрезок на шесть равных частей. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 4, 7, 8, 10, 11, 16, 17.
127. Найдите координаты точек А, В, С, D, Е, F на рисунке 57.
128. Найдите координаты точек М, N, Р, Т, S, К на рисунке 58.
129. Перенесите в тетрадь рисунок 59. Отметьте на координатном луче точки В(12), С(2), D(8).
130. Перенесите в тетрадь рисунок 60. Отметьте на координатном луче точки Е(27), F(6), K(15), Р(21).
131. Начертите координатный луч и отметьте на нем точку, удаленную от точки В(5) на: 1) шесть единичных отрезков; 2) три единичных отрезка.
132. Начертите координатный луч и отметьте на нем точку, удаленную от точки А(7) на: 1) десять единичных отрезков; 3) семь единичных отрезков; 2) четыре единичных отрезка; 4) пять единичных отрезков.
133. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которую указывает стрелка (рис. 61)?
134. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которой начинается стрелка (рис. 62)?
135. Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки О(0) попасть: 1) в точку А(7); 2) в точку В(8)?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
136. Выполните действия:
137. Высота Исаакиевского собора (г. Санкт-Петербург) равна 102 м, что на 21 м больше высоты колокольни Ивана Великого на территории Московского Кремля. Высота колокольни Ивана Великого на 24 м меньше высоты храма Христа Спасителя в Москве. Какова высота храма Христа Спасителя?
138. Из двух городов, расстояние между которыми равно 1 008 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля и встретились через 8 ч после начала движения. Скорость одного автомобиля 70 км/ч. Найдите скорость другого автомобиля.
139. Из двух городов отправились одновременно навстречу друг другу два поезда со скоростями 48 км/ч и 54 км/ч. Найдите расстояние между городами, если поезда встретились через 4 ч после начала движения.
140. Стоимость 7 кг яблок такая же, как 4 кг груш. Сколько килограммов груш можно купить на ту же сумму, что и 42 кг яблок?
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
141. Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Может ли на всех кустах вместе расти 225 ягод?