как определить какой знак на интервале

Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств

Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:

Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 x + 3

Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:

Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:

Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции, а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.

Почему эти методы неэффективны?

Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.

Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:

Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f ( x ) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f ( x ) x − 2)( x + 7) x − 2)( x + 7) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:

f ( x ) = ( x − 2)( x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;

Получаем, что f (3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.

Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

( x − 2)( x + 7) x + 9)( x − 3)(1 − x ) x + 9)( x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.

Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:

Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:

f ( x ) = ( x + 9)( x − 3)(1 − x );
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197

Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:

( x + 9)( x − 3)(1 − x ) f ( x ) x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Замечание по поводу знаков функции

Практика показывает, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим два замечания, на которых он построен:

Вот и все, что нужно знать про метод интервалов. Конечно, мы разобрали его в самом простом варианте. Существуют более сложные неравенства — нестрогие, дробные и с повторяющимися корнями. Для них тоже можно применять метод интервалов, но это тема для отдельного большого урока.

Теперь хотел бы разобрать продвинутый прием, который резко упрощает метод интервалов. Точнее, упрощение затрагивает только третий шаг — вычисление знака на самом правом куске прямой. По каким-то причинам этот прием не проходят в школах (по крайней мере, мне никто такого не объяснял). А зря — ведь на самом деле этот алгоритм очень прост.

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x );
( x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Мы получили 3 корня. Перечислим их в порядке возрастания: x = −2, x = 1 и x = 7. Очевидно, что наибольший корень — это x = 7.

Для тех, кому легче рассуждать графически, я отмечу эти корни на координатной прямой. Посмотрим, что получится:

Требуется найти знак функции f ( x ) на самом правом интервале, т.е. на (7; +∞). Но как мы уже отмечали, для определения знака можно взять любое число из этого интервала. Например, можно взять x = 8, x = 150 и т.д. А теперь — тот самый прием, который не проходят в школах: давайте в качестве числа возьмем бесконечность. Точнее, плюс бесконечность, т.е. +∞.

«Ты че, обкурился? Как можно подставить в функцию бесконечность?» — возможно, спросите вы. Но задумайтесь: нам ведь не нужно само значение функции, нам нужен только знак. Поэтому, например, значения f ( x ) = −1 и f ( x ) = −938 740 576 215 значат одно и то же: функция на данном интервале отрицательна. Поэтому все, что от вас требуется — найти знак, который возникает на бесконечности, а не значение функции.

На самом деле, подставлять бесконечность очень просто. Вернемся к нашей функции:

f ( x ) = ( x − 1)(2 + x )(7 − x )

Представьте, что x — это очень большое число. Миллиард или даже триллион. Теперь посмотрим, что будет происходить в каждой скобке.

Первая скобка: ( x − 1). Что будет, если из миллиарда вычесть единицу? Получится число, не особо отличающееся от миллиарда, и это число будет положительным. Аналогично со второй скобкой: (2 + x ). Если к двойке прибавить миллиард, по получим миллиард с копейками — это положительное число. Наконец, третья скобка: (7 − x ). Здесь будет минус миллиард, от которого «отгрызли» жалкий кусочек в виде семерки. Т.е. полученное число мало чем будет отличаться от минус миллиарда — оно будет отрицательным.

Осталось найти знак всего произведения. Поскольку в первых скобках у нас был плюс, а в последней — минус, получаем следующую конструкцию:

Итоговый знак — минус! И неважно, чему равно значение самой функции. Главное, что это значение — отрицательное, т.е. на самом правом интервале стоит знак минус. Осталось выполнить четвертый шаг метода интервалов: расставить все знаки. Имеем:

Исходное неравенство имело вид:

( x − 1)(2 + x )(7 − x ) x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Вот и весь прием, который я хотел рассказать. В заключение — еще одно неравенство, которое решается методом интервалов с привлечением бесконечности. Чтобы визуально сократить решение, я не буду писать номера шагов и развернутые комментарии. Напишу только то, что действительно надо писать при решении реальных задач:

Заменяем неравенство уравнением и решаем его:

x (2 x + 8)( x − 3) = 0;
x = 0;
2 x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Отмечаем все три корня на координатной прямой (сразу со знаками):

Справа на координатной оси стоит плюс, т.к. функция имеет вид:

f ( x ) = x (2 x + 8)( x − 3)

А если подставить бесконечность (например, миллиард), получим три положительных скобки. Поскольку исходное выражение должно быть больше нуля, нас интересуют только плюсы. Осталось выписать ответ:

Источник

Метод интервалов (ЕГЭ 2022)

Метод интервалов тебе просто необходимо понять и знать его как свои пять пальцев!

Хотя бы потому, что он применяется для решения рациональных неравенств.

И потому, что, зная этот метод как следует, решать эти неравенства на удивление просто.

Чуть позже раскрою тебе пару секретов, как сэкономить время на решении этих неравенств.

Ну что, заинтриговал? Тогда поехали!

Метод интервалов — коротко о главном

Метод интервалов применяется для решения рациональных неравенств.

Он заключается в определении знака произведения по знакам сомножителей на различных промежутках.

Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов:

Суть метода интервалов

Суть метода в разложении неравенства на множители (повтори тему «Разложение на множители»), определении ОДЗ и знака сомножителей.

Возьмем самый простенький пример: \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Области допустимых значений (ОДЗ) здесь писать не надо, поскольку деления на переменную нет, и радикалов (корней) здесь не наблюдается.

На множители здесь все и так разложено за нас. Но не расслабляйся, это все, чтоб напомнить азы и понять суть!

Допустим, ты не знаешь метода интервалов, как бы ты стал решать это неравенство? Подойди логически и опирайся на то, что уже знаешь.

Во-первых, левая часть будет больше нуля если оба выражения в скобках либо больше нуля, либо меньше нуля, т.к. «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс», так?

А если знаки у выражений в скобках разные, то в итоге левая часть будет меньше нуля.

А что же нам нужно, чтоб узнать те значения \( x\), при которых выражения в скобках будут отрицательными или положительными?

Нам нужно решить уравнение, оно точно такое же как неравенство, только вместо знака «\( >\)» будет знак «\(=\)«.

Корни этого уравнения и позволят определить те пограничные значения, при отступлении \( x\) от которых множители \( (x+1)\) и \( (-2)\) будут больше или меньше нуля!

А теперь сами интервалы.

Что такое интервал?

Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве \( >\), а не \(\ge\), то есть строго больше, а не больше или равно.

Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

Взгляни еще раз на неравенство \( (x+1)\cdot (-2)>0\).

Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

Ну, раз ты с этим разобрался, то дело за малым – записать ответ!

В ответ пишем те промежутки, при которых левая часть больше нуля, \( x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )\), что читается, как икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус одного и от двух до плюс бесконечности.

Теперь пример, в котором тебе придется не только интервал рисовать.

Пример 1

\( (<^<2>>-1)\cdot (-3)

Пришло время раскрыть тебе один секрет, который я обещал еще в начале этой темы!

Можно не подставлять значения из каждого интервала для определения знака, а определить знак в одном из интервалов, а в остальных просто чередовать знаки!

Таким образом, мы сэкономили немного времени на проставлении знаков – думаю, это выигранное время на ЕГЭ не помешает!

Пример №2

Теперь рассмотрим пример дробно-рационального неравенства – неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями (см. «Рациональные уравнения»).

Что можешь сказать про это неравенство? А ты взгляни на него как на дробно-рациональное уравнение, что делаем в первую очередь?

Сразу видим, что корней нет, значит точно рациональное, но тут же дробь, да еще и с неизвестным в знаменателе!

Источник

Метод интервалов, примеры, решения.

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

В этой статье мы детально разберем метод интервалов и затронем все тонкости решения неравенств с одной переменной с его помощью. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Навигация по странице.

Алгоритм

Чтобы сделать дальнейший разговор предметным, сразу запишем алгоритм решения неравенств указанного выше вида методом интервалов, а потом разберемся, что да как да почему. Итак, по методу интервалов:

На чем базируется метод?

Так мы плавно подошли к вопросу определения знаков на промежутках, но не будем перескакивать через первый шаг метода интервалов, подразумевающий нахождение нулей числителя и знаменателя.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби указанного в первом пункте вида обычно не возникает никаких проблем. Для этого выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. Принцип решения уравнений такого вида подробно изложен в статье решение уравнений методом разложения на множители. Здесь лишь ограничимся примером.

Для нахождения нулей числителя и знаменателя в общем случае, когда в левой части неравенства дробь, но не обязательно рациональная, также числитель и знаменатель приравниваются к нулю, и решаются соответствующие уравнения.

Как определять знаки на интервалах?

Самый надежный способ определения знака выражения из левой части неравенства на каждом промежутке состоит в вычислении значения этого выражения в какой-либо одной точке из каждого промежутка. При этом искомый знак на промежутке совпадает со знаком значения выражения в любой точке этого промежутка. Поясним это на примере.

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя, но не знаменателя, или через нуль знаменателя, но не числителя, знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. А при переходе через точку, являющуюся одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя, знак изменяется, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная.

Кстати, если выражение в правой части неравенства имеет вид, указанный в начале первого пункта этой статьи, то на крайнем правом промежутке будет знак плюс.

Чтобы все стало понятно, рассмотрим пример.

А дальше наступает момент определения знаков на промежутках. Как мы заметили перед этим примером, на крайнем правом промежутке (4, +∞) будет знак +:

Понятно, что применение рассмотренного метода особенно оправдано, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. К примеру, вычислите-ка значение выражения в любой точке интервала .

Будем считать, что с нахождением знаков на промежутках разобрались.

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь можно собрать воедино всю представленную информацию, достаточную для решения неравенств методом интервалов, и разобрать решения нескольких примеров.

Источник

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка (−∞, −3) возьмем −4. При x=−4 имеем

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак «+».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2, 3, 4, знаменателя точки 1, 3, 4. Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток (4, +∞) будет знак ++.

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4. Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения (x−4) 2 и x−4. Сложим их степени 2+1=3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале (3, 4) будет знак минус.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х-2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

Выполните:

1. Дана дробь. Найти нули.

Источник

Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов

Примеры неравенств, которые удобно решать методом интервалов:

Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)

Нанесите найденные значения на числовую ось.

Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

— В крайнем правом интервале ставим знак плюс;

— Дальше двигаемся влево;

— Переходя через число:

— меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)

— не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)

Выделите нужные промежутки.
Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести этот корень в ответ (такая ситуация рассмотрена в одном из примеров ниже).

Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

Почему алгоритм метода интервалов работает именно так?

+5 видео-примеров решения

Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус.

Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения

Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов.

Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки.

Пример. (Задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:

Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую

Источник