бутковский методы управления системами с распределенными параметрами
Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами (справочное пособие)
Справочник содержит сведения о характеристиках систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, состояние которых описывается уравнениями и системами уравнений в частных и полных производных и интегральными уравнениями. В справочнике приведены важнейшие характеристики таких систем: функции Грина (импульсные переходные функции), передаточные функции, собственные функции, собственные числа и собственные частоты, характеристические и дисперсионные уравнения, стандартизирующие функции. Справочник содержит около пятисот задач уравнений математической физики, для которых приведены эти характеристики. Излагаются элементы структурной теории распределенных систем. Справочник будет полезен широкому кругу специалистов самых различных областей науки и техники (математики, физики, механики, кибернетики, химии, электротехники и др. ), занимающихся как теоретическими исследованиями, так и практическими расчетами в данной области.
Часть 2
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
1. Введение
2. Распределенные сигналы
3. Распределенные блоки
4. Стационарные распределенные блоки
5. Суммирование распределенных сигналов. Параллельное соединение блоков
6. Последовательное соединение распределенных блоков
7. Частные виды распределенных блоков
8. Замыкание обратной связью
9. Замыкание вырожденной обратной связью
10. Взаимосвязанные системы
11. Стандартная форма краевых задач
12. Дисперсионные соотношения
Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Бутковский, А. Г.
Оглавление диссертации Бутковский, А. Г.
Глава 1, Математическая постановка общей задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами
§ 1. Постановка задачи оптимального управления для объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных произ- ■ водных
§ 2. Постановка задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами в функциональном «фазовом» пространстве
§ 3. Постановка задачи оптимального управления для систем, описывающихся интегральными уравнениями
§ 4. Постановка задачи на условный минимум функционала при дополнительных ограничениях
§ 5. Задачи синтеза оптимальных систем с распределенными параметрами
Глава П. Принцип максимума для оптимальных систем с распределенными параметрами
§ 1. Теоремы о существовании линейного функционала в задаче на условный минимум
§ 2. Расширенный принцип максимума с дополнительным условием для оптимальных систем с распределенными параметрами,описывающихся нелинейными интегральными уравнениями.
§ 3. Принцип максимума для оптимальных, систем с распределенными параметрами
§ 4. Необходимое и достаточное условие оптимальности решения задачи на условный минимум для однородного функционала и оператора
§ 5. достаточные условия оптимальности для решения задачи на условный минимум.
§ б. Основные интегральные уравнения для определения оптимальных управлений в одном классе систем с распределенными параметрами
Глава щ. Принцип локального максимума в оптимальных импульсных системах
§ 1. Принцип локального максимума в оптимальных импульсных системах
§ 2. Пример задачи оптимального управления, где не выполняется принцип максимума
§ 3. Достаточные условия оптимальности для импульсных систем.
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Другие cпециальности», 00.00.00 шифр ВАК
Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем 2004 год, доктор физико-математических наук Аргучинцев, Александр Валерьевич
Оптимальное управление отдельными классами гиперболических систем первого порядка 2010 год, кандидат физико-математических наук Поплевко, Василиса Павловна
Моделирование оптимальных режимов в системах управления процессами разделения многокомпонентных смесей 2003 год, кандидат физико-математических наук Терещенко, Юлия Анатольевна
Оптимальное управление системами на счетномерном симплексе 2012 год, кандидат физико-математических наук Новоженин, Алексей Владимирович
Математические модели и методы исследования локальной оптимальности нелинейных систем управления 2013 год, кандидат наук Кузнецов, Алексей Викторович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.»
В последние годы высокими темпами развивается теория оптимальных систем, основыващаяся ва новейших достижениях математики и техники. Постановка задач во многих известных работах по теории оптимальных систем вытекала из стремления учесть различного рода ограничивающие условия, наложенные на управляющие воздействия и координаты заданной части системы,движение которой в общем случае описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка [8, 33-36, 61, 63, 64, 74-78, 80, 86 ].
С развитием техники и экономики к системам автоматического управления предъявляются все более разнообразные и жесткие технино-экономические требования. Круг объектов, работающих в режиме автоматического управления, бистро расширяется. В различных производственных процессах автоматические системы должны обеспечивать наивысшую производительность при заданном расходе сырья, топлива или энергии, во многих процессах требуется обеспечить высокую точность работы системы или агрегата, высокое быстродействие; требуется наилучшим образом приближаться к некоторому заданному режиму или состоянию при минимальном расходе имеющихся в распоряжении средств.
Многие производственные и энергетические системы работают в режимах, при которых недоиспользуются значительные возможности, заложенные в агрегате, и не достигаются показатели,которые могли бы быть достигнуты» Поэтому возникает необходимость создания таких методов управления и проектирования, которые позволили бы максимально использовать все потенциальные возможности систем и создать оптимальную систему в каком-либо зара нее заданном смысле;
На практике в большинстве технических приложений приходится иметь дело с системами, имеющими распределенные в пространстве параметры. Движение таких систем описывается дифференциальными уравнениями в частных производных,интегральными уравнения^иитегро-дифференциальными,а подчас более общими и более сложными функциональными соотношениями. Некоторые сложные системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями высокого порядка, что сильно затрудняет их исследование и возможность построения оптимального управляющего устройства. Но при определенных условиях такие системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами можно аппроксимировать системой с распределенными параметрами. Например, уравнение системы, состоящей из большого чиола последовательно включенных апериодических, звеньев, можно приближенно заменить уравнением тешоп роводности•
Трудность, возникающая при постановках этих задач, состоит в том, что при общетеоретических исследованиях постановка задачи хе должна быть слишком широкой для того,чтобы можно было как-то начать искать пути ее решения; с другой стороны, эти постановки не должны быть слишком узкими,чтобы не была потеряна общность проблемы и можно было создавать об* щие методы и приемы решения таких задач1!
Разработка теории и техники оптимальных систем с распределенными параметрами является гораздо более трудной проблемой, нежели аналогичная проблема для систем с сосредоточенными параметрами. Это связано с тем, что движение таких систем описывается сложными функциональными! уравнениями, например, уравнениями в частных производных при наличии сложных граничных и начальных условий. В случав рспределенных систем *акже сильно усложняется характер дополнительных ограничений, сопутствующих требованиям практической постановки задачи.
Несмотря яа довольно хорошо развитую теорию оптимальных систем с сосредоточенными параметрами и наличие мощных средств по реализации таких систем,имеется относительно мало примеров их практического внедрения. Это положение ©тчасти можно объяснить тем, что реальные объекты, требувдие создания оптимальных управляющих устройств, являются сложными агрегатами, ©писание которых не может быть втиснуто в рамки обыкновенных диф ференциальных уравнений»
Таким образом, возникает необходимость дальнейшего развития теории оптимальных систем и ее обобщения на случай систем с распределенными параметрами»
Это направление обобщения теории оптимальных систем является одним из гжавнейших, так как оно находит практическое применение во многих технических приложениях.
Рассмотрим несколько основных, широко распространенных объектов, для которых при создании систем управления необхообъента димо учитывать распределенность параметров/в пространстве.
На рис.1 изображена проходная нагревательная печь. Опишем процесс теплообмена между неподвижной грепцей средой, характеризуемой функцией распределения температуры
U-Ui^i), o » * (U+ftQfix, <]) (2б>di
Необходимо так управлять температурой материала на входе в реактор Q4 ft о), чтобы деркать ПС вше степень превращения jexpfe+fsQ, (itx))c/x ■
Если обозначить через
При этом R(Q) является возрастающей функцией аргумента Q • для описанных вше поточных производственных процессов характерным является направленное продвижение потока обрабатываемых материалов через ряд последовательно распределенных в пространстве зон обработки, управляющие воздействия (например, температуры различных зон проходных нагревательных печей) также распределены в пространстве, и воздействие на обрабатываемый материал производится сразу но всей длине зоны обработки,
В отличие от периодических процессов, где задача управления состоит в выработке и реализации требуемой программы изменения во времени воздействия на обрабатываемый материал,при поточном методе производства основная задача управления состоит в выборе и поддержании такой формы распределения в пространстве воздействия на движущийся поток материала,при котором обеспечивается требуемое изменение его состояния.
Необходимость управления в этом случае обуславливается тем, что имеются различного рода возмущающие воздействия: изменение производительности агрегата, изменение скорости продвижения материалов через зоны обработки, изменение начальных значений некоторых важных параметров на входе в зону обработки, наконец, изменение требуемого состояния на выходе из зоны обработки (например, изменение начальной температуры входящей в печь заготовки металла, изменение ее размеров или марки стали; для сушильных агрегатов возмущениями могут являться изменение начальной влажности, пористости материала и т.д.). для таких объектов задача оптимального управления состоит в определении таких управляющих воздействий, совместимых с наложенными на них ограничениями,при которых уклонение интересующего нас параметра на выходе из заданной зоны обработки (или в другой заданной точке) от желаемого значения в каком-либо «предел енном смысле было бы минимальным* Если имеются дополнительные условия, наложенные на параметры обрабатываемого материала, т® и они должны выполняться.
Здесь функции Qn вог (%) и управляющая функция У (t) считаются заданнши функциями, управляющая функция U(1) имеет смшл скорости движения жидкости,которая регулируется с помощью заслонки, находящейся непосредственно перед ротором турбины.
Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить управление u(i), ft, О достиг своего наименьшего возможного значения.
Аналогичные задачи оптимизации имеют место в системах гидротранспорта. Например, интересна задача перекачки пульпы (смеси твердого и жидкого: уголь, торф, порода с водой и т.д.) по длинным трубопроводам^ Особенность таких систем состоит в том, что в них танже существенно явление удара и осаждение взвешенных частиц. Применение методов оптимизации могло бы сильно повысить экономичность работы данных систем.
В общем случае краевое условие имеет вид
1о’р)-е(г)№> гн достиг своего наименьшего значения.
При решении подобного рода задач можно воспользоваться тем, что решение уравнения (58) удовлетворяет следующему интегральному уравнению
Научный подход к интересной и трудной проблеме управления погодой также должен ©оновываться на методах теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами.
Остановимся теперь на основных особенностях и трудностях, возникающих при рассмотрении вопросов управления системами с распределенными параметрами. Н&к мы уже видели, основное отличие систем с распределенными параметрами от систем с сосредоточенными параметрами состоит в том, что состояние объектов с распределенными параметрами характеризуется не кончным набором величин, координат объекта, изменяющихся только во времени, а в общем случае набором функций, показывающих зависимость параметров от временных и пространственных переменных или от любой их комбинации, функции распределения, в зависимости от природы рассматриваемого объекта, могут быть определены на множествах самого разнообразного вида, эта множества могут быть односвязнши, многосвязными, несвязными областями, замкнутыми и открытыми, ограниченными и неограниченными. Они могут иметь различную размерность, т.е. быть линиями,поверхностями, объемами и т.д. То же самое относится и к управляющим воздействиям.
Невозможность идеального процесса управления ставит задачу ояредаэоешш оптимального процесса по определенному, заранее заданному критерию. В качестве критерия может выбираться функционал, зависящий от функций состояния объекта и управляющих воздействий; Выбор такого функционала и оптимизация по нему может также составить значительные трудности, так как в общем случае этот функционал может быть определен на произвольном многообразии в области определения функций состояния и управляющих воздействий» рассмотрение задач управления системами с распределенными параметрами естественным образом приводит к необходимости использовать мощный аппарат функционального анализа.Оптимальные процессы управления в этом случае получают наглядную геометрическую (гипергеометрическую) интерпретацию в функциональном «фазовом» пространстве система; При этом изменение состояния управляемой системы, если оно происходит во времени, / характеризуется определенной точкой в фазовом пространстве системы, а переход системы из одного состояния в другое,т.е. \ эволюция во времени, характеризуется траекторией в этом функ- \ циональном пространстве.
Однако непосредственное получение функции распределения состояний с управляемого объекта путем непосредственных изменений, как правило, является чрезвычайно трудной, а иногда и вовсе неразрешимой задачей! в лучшем случае достаточно точное измерение возможно лишь в отдельных фиксированных точках объекта. Поэтому возникает новая задача создания надежных, точных и достаточно простых моделей управляемых объектов с распределенными параметрами, с которых можно было бы легко получать информацию о состоянии управляемого объекта, и использовать ее для целей оптимального управления. Таким образом, назначение модели состоит в том, чтобы в каждый фиксированный момент времени выдавать функцию распределения состояния управляемого объекта в зависимости от пространственных коордита. нат.
Во многих случаях известна общая структура уравнений,описывающих процессы в распределенной системе. Знание формы управлений позволяет создать модель процесса* Однако в этих случаях, как правило, ряд констант, характеризующих процесс, все же остаются неизвестными и они не могут быть получены с достаточной точностью путем соответствующих измерений.указанные трудности приводят к необходимости создания самонастраивающихся моделей объектов с распределенными параметрами.
По имеющимся сведениям о процессе и о форме уравнений создается математическая или физическая модель процесса,в которой предусматривается возможность изменения тех параметров модели, которые соответствуют неизвестным или известным с недостаточной точностью параметрам уравнений процесса. При этом необходимо также вводить в модель все возмущающие воздействия, которые оказывают влияние на процесс и поддаются измерению*
За меру такого отклонения, например, можно принять сумму квадратов разностей вычисленных и измеренных значений функций распределения по всем точкам измерения, в некоторых случаях величину этого критерия приходится еще усреднять и по некоторому фиксированному интервалу времени или по ряду последовательных циклов измерений.
Оптимизатор автоматически производит поиск таких значений неизвестных параметров модели, при которых критерий точности работы модели достигает своего минимального значения, близкого или равного нулю. Если после окончания процессов поиска обеспечивается хорошее совпадение вычисленных на модели и измеренных значений распределений, такое совпадение с большой достоверностью позволяет сделать вывод о том, что модель хорошо отражает процессы, происходящие в реальном объекте.
Таким образом, для решения рассмотренного выше большого круга проблем необходимо создание более мощной теории оптимальных систем управления, а также более сильных и гибких технических средств, с помощью которых можно решать трудные и важные задачи управления системами с распределенными параметрами.
В главе 1 работы дается точная математическая постановка проблемы оптимального управления системами с распределенными параметрами. Рассмотрение вопросов управления такими сложными объектами естественным образом привело к необходимости использования понятий функционального анализа и представления движений таких систем в функциональном фазовом пространстве^
В терминах функционального анализа сформуяирована общая вариационная задача на условный минимум. На основе доказанной в § 1 главы П теоремы о существовании линейного функционала в задаче на условный минимум выводится ряд теорем, дающих необходимые, а также достаточные условия оптимальности. Как показано в работе, подход к решению задач оптимального управления системами с распредеяеннши параметрами на основе принципа максимума оказывается более простым и естественным, нежели, например, применение идей метода динамического программирования [4, 5] • Дело в том, что формулировка принципа оптимальности в методе динамического программирования существенным образом связана с понятием траектории процесса, т.е. некоторой последовательности состояний управляемого объекта (счетной или несчетной), зависящей от некоторого одномерного параметра, которым обычно является время (дискретное или непрерывное). Однако в задачах оптимального управления и в особенности конструирования объектов с распределенными параметрами,где время не входит в процесс явным образом, затруднительно дать формулировку принципа оптимальности, не говоря уже о выводе уравнений оптимального процесса. Правда, в этом случае все же можно было бы дать соответствующую формулировку принципа оптимальности, например, может быть в терминах многопараметрических динамических систем (групп или полугрупп). Однако это приводит к использованию довольно сложного математического аппарата, и полученные уравнения будут носить сложный характер. Даже тогда, когда мы встречаемся с динамической задачей оптимального управления системой с распределенными параметрами, где имеется параметр времени и есть траектория процесса, пролегающая в функциональном пространстве, то и здесь принцип оптимальности приводит к трудно поддающимся анализу и решению функциональным уравнениям.
Широкий подход к математическому описанию задач оптимального управления дает определенные преимущества, позволяя каждый раз выбирать конкретное математическое описание, которое обеспечивает наиболее удобную и точную фиксацию особенностей данной задачи.
6 настоящей диссертации больше внимания уделяется объектам, описывающимся интегральными уравнениями и функциональными соотношениями (задача на условный минимум в функциональном пространстве). Такое описание имеет, как правило, простую физическую интерпретацию и чрезвычайно удобно для широкого класса объектов о распределенными параметрами. Теория оптимизации для объектов, описывающихся дифференциальными уравнениями в частных производных, в данной работе была рассмотрена лишь для уравнений первого порядка в той степени, в какой это было необходимо для решения задачи оптимального нагрева материалов в проходных агрегатах (§ 1, глава У1). Однако эти постановки задач служат предметом исследований ряда авторов, развивающих дальше методы решения поставленных проблем. Интересно отметить, что некоторые результаты в этих работах также формулируются в виде соответствующего принципа максимума.
Таким образом, для решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, по-видимому, наиболее удобным аппаратом является принцип максимума, и ему еледует в этом отношении отдать предпочтение.
В главе 1 работы рассмотрен важный класс импульсных оптимальных систем (дискретным является только время).Для таких систем, которые в ряде случаев могут хорошо аппроксимировать системы с распределенными параметрами, известен только принцип локального максимума как необходимое условие оптимальности.
В тех случаях, когда отсутствует решение проблемы моментов, постановка задач оптимального управления приводит к рассмотренным в § 5 главы П своеобразным интегральным уравнениям, определяющим оптимальное управление. Метод моментов замечателен еще и тем, что он может быть применен для описания оптимальных управлений и в том случае, когда ограничены фазовые координаты системы. Этот вопрос рассмотрен в § 5 главы 1У.
Глава У работы посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач оптимального управления распределенными системами. В § 1 главы У рассмотрен интересный итерационный метод вычисления оптимального управления, основанный на результатах проблемы моментов. Этот метод замечателен своей универсальностью и по существу позволяет решать задачу синтеза оптимальной системы. Он дает единую вычислительную процедуру вне зависимости от сложности и порядка линейного управляемого объекта rf числа управляющих воздействий. Сложность вычисления не зависит от числа управляющих воздействий. Требуетk ся лишь знание собственных функций управляемой системы? Интересно отметить тот факт, что этот метод пригоден и тогда,когда наложены ©граничения не только на управления, но и на координаты системы^ Правда, в этом случае вычислительная процедура значительно усложняется.
Рак как оптимальные управления во многих случаях определяются из решения своеобразных нелинейных интегральных уравнений, то существенно располагать способами решения этих уравнении» В § 2 главы У рассматриваются два метода последовательных приближений, которые могут обеспечить нахождение решения этих уравнений с достаточной степенью точности.
В § 3 главы У рассматривается метод конечных разностей и метод прямых, которые находят свое применение при расчетах оптимальных процессов в системах с распределенными параметрами на аналоговых моделях.
Глава У1 #йи®фтащии посвящена приложению полученных в диссертации результатов к задаче оптимального нагрева материала в проходных печах и задаче оптимального нагрева массивного тела» В § 1 этой главы дается вывод алгоритма оптимального управления нагревом металла в проходных печах на основе сведения уравнения первого порядка в частных производных к обыкновенно1 му дифференциальному уравнению с помощью метода характеристик» В § 2 главы У1 рассматриваются принципы моделирования одного широкого класса объектов с распределенными параметрами на основе комбинированного аналого-цифрового метода, который, помимо применения в системах управления с распределенными параметрами, имеет и самостоятельное значение при моделировании целого ряда процессов в распределенных системах. В этой же главе рассматривается система оптимального управления методическими печами, которая разработана на основе методов теории оптимального управления системами с распределенными параметрами с применением новых принципов моделирования. Эта задача, как отмечалось выше, имеет большое практическое значение для ряда производственных процессов^ Приводятся результаты лабораторного моделирования, а также испытаний этой системы в производственных условиях на методических печах тонколистового стана «1490» листопрокатного цеха № 1 Магнитогорского металлургического комбината. I, наконец, в § 4 главы У1 решается важная для практики задача получения заданного распределения температуры по сечению массивного тела за минимальное время и задача минимизации квадратичного уклонения получаемого распределения от заданного в фиксированный момент времени.
Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами (Бутковский Л.Г.) [1965, Автоматизация, DjVu]
Год издания : 1965
Автор : Бутковский Л.Г.
Издательство : Наука
Жанр: Автоматизация
Серия : Теоретические основы технической кибернетики
Язык : Русский
Формат : DjVu
Качество : Отсканированные страницы
Количество страниц : 476
Описание : Книга содержит изложение получившей в последнее время развитие теории построения оптимальных в каком-либо определенном смысле систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами. В работе формулируются точные математические постановки задач оптимального уравнения подобного рода объектами. На основе применения функционального анализа выводится целый ряд необходимых и достаточных условий оптимальности процесса. Приводятся приближенные методы решения полученных уравнений, приспособленные для решения на аналоговых и цифровых вычислительных машинах. В книге уделено большое внимание приложению результатов теории, в частности, к оптимизации тепловых процессов, и рассмотрен вопрос о моделировании одного широкого класса систем с распределенными параметрами. Книга будет полезна широкому кругу специалистов, интересующихся теорией оптимального управления и ее применениями к различным областям техники.
Доп. информация : Скан: AAW, обработка, формат Djv: pohorsky